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侦察机搜索潜艇_doc滑翔机
来源:     日期:2019-11-02 23:01    字体:【】【】【

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  侦察机搜索问题 一、问题重述 侦察机搜索潜艇,设时潜艇在点,飞机在点 O 处,OA=6 浬,此时 潜艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线 浬/时。飞机以速度公里/时按照待定的航线搜索潜艇,当且仅当飞 到潜艇的正上方时才可发现它。 (1) 、以为原点建立坐标(r,θ)系,点位于的向径上,见下图。分 析图中由 P,Q,R 组成的小三角形,证明在有限时间内飞机一定可以搜 索到潜艇的航线,上先从点沿直线 再从沿一条对数螺线 是一个圆周上的任一点。给出对数螺线的表达式, 并画出一条航线) 、为了使整条航线是光滑的,直线段应与对数螺线在点相切,找 出这条光滑的航线) 、在所有一定的可以发现潜艇的航线中哪一条航线是最短的,长 度是多少。光滑的航线的长度又是多少? R (r + dr, θ + dθ ) Q (r , θ + dθ ) P (r , θ ) A 二、 问题分析 证明存在航线, ,证明在有限时间内飞机一定可以搜索到潜艇的航线,上先 从点沿直线再从沿一条对数螺线是一个圆周上的任一 点。并证明航线存在。 三、 模型假设和符号说明 设对数螺线 M 为 r =a e bθ (a ≠ 0, b ≠ 0) ,飞到达 P ( r , θ ) 点。 四、 建立模型和求解: 1、证明并找出可行航线) 、确定对数螺线 ) (r, θ ) , A( 如图①,以 O 为原点建立极坐标系 点位于 θ = 0 的向径上。 设对数螺线 M 为 r = ae bθ (a ≠ 0, b ≠ 0) 。 在某一时刻,飞机到达 P 恰好到达 Q ( r , θ ) 点,且潜艇 (r , θ + dθ ) 点, P , Q 位于以 。 O 圆心的同一圆周上,即 OP = OQ = r 之 后 , 飞 机 沿 M 由 P 飞 向 R (r + dr, θ + dθ ) ,潜艇沿 OQ 航向 R,要 使飞机搜索到潜艇, 则必有飞机与潜艇同时到 到达 R,即 t PR = t OR ,飞机的速度为潜艇的 2 倍,则可得: S PR =2 S OR ? ? ? ? ? ? ?① 由数学分析中极坐标下弧长的积分公式: S = ∫r α β 2 + dθ r′ 2 可得 PR 的长度为: S PR = ∫ θ θ +dθ r 2 + r′ dθ 2 = ∫ θ θ + dθ (ae ) e bθ bθ 2 + (abe ) bθ 2 dθ 可得: S PR = a 2 2 bθ 1 + b (e b ) ??? ? ? ? ? ? ?② 又有: S OR = r r =r R P (θ + dθ ) r (θ ) 代入可得: S b OR = 2a ( e 2 bθ e bθ ) ?? ? ? ? ? ? ?③ 由①②③式可得: =± 3 3 3 θ 3 即对数螺线 M 为: r =a e ± ( a ≠0 ) 0 2) 、确定点 P 的轨迹圆周 N P 0 设点 ( x, y ) 为圆 N 上任意一点,其中 x = r cos θ , y = r sin θ 。如图②,要使飞机到达 时,潜艇恰好与飞机在同一圆周 O (其圆心在坐标 原点)上,要满足: 2 ( x 6) 即: + y 2 =2 x +y 2 2 2 ( x +2) + y = 4 2 2 将其化为极坐标下的方程,可得 P 的轨迹 N 为: 0 r 2 + 4 r cosθ 12 = 0 3) 、确定可行航线,从而原命题得证 综上可得,在有限时间内(最长为飞机到达 可以搜索到潜艇的航线,是先从 A 点沿 直线飞到 行一周。 P 后,再沿对数螺线 M 飞行一周)飞机一定 0 P ,再沿一条对数螺线 P 为圆周 N 上任意一点: 0 N : r + 4 r cosθ 12 = 0 对数螺线 M: r =a e ± 3 θ 3 ( a ≠0 ) 其中一条可行航线、寻找光滑航线) 、确定过 A( 的直线 L : 由直角坐标系下的直线方程 a x +b y +c 1 1 1 =0 令: x = r cos θ , y = r sin θ ,可得: c /a r = b cosθ + sin θ a 1 1 1 1 ,令: k = a b 1 ,b = 1 c a 1 1 , 则极坐标下直线的方程为: r = b 1 cosθ sin θ k (其中 k = t an β , β 为直线与向径的夹角, (b,0) 为直线与向径的 交点。如图④所示) 6, 0 ) 那么过点 A( 的直线 L 的方程为: r = 6 1 cosθ sin θ k 2) 、确定对数螺线 M 在点的斜率 k : 令: x = r cos θ , y = r sin θ ,由直线的斜率 k = dy 得: dx r′ (θ ) sin θ + cosθ k= r′ (θ ) cosθ sin θ 则对数螺线 ( r , θ ) 的斜率为: 3) 、确定直线 L 与对数螺线 M 的切点: 要使航线光滑,即直线 L 与对数螺线 M 在圆 N 上切于点 须要满足条件: P 0 (r , θ ) , r r 2 + 4 r cosθ 12 = 0 ?? ? ? ? ? ? ?④ P0 在圆 N 上 6 ? ? ? ? ? ? ? ⑤ P0 在直线 cosθ sin θ k = r =a e ± 3 θ 3 ? ? ? ? ? ? ?⑥ P 在对数螺线 sin θ + cosθ k=± 3 ? ? ? ? ? ? ?⑦对数螺线 的斜率与直线 cosθ sin θ 3 联立④⑤⑥⑦式可解得: π 3 6 , k π θ= 2 ,r = 2 3 ,a = 2 3e =± 3 。 3 即得: 点 P: 0 π (2 3 , ) 2 直线 sin θ 对数螺线 从而得两条对称光滑航线(如图⑤—a、图⑤—b 所示) ,飞机先沿直线 沿对数螺线、计算最短航程及光滑航程。 1) 、求最短航程 s s 1 令最短直线航程为 如图⑥所示, = 。 0 ) , 那么有: P 的轨迹为圆 N ,易知 A(0,6) 到圆 N 距离取最短时 P 为(2, 0 0 s A P =4 0 令最短螺线航程为 由前述对对数螺线 。 =a e bθ b 表示螺线的开合程度, ( a ≠0 , b ≠0 )的确定中可知在式中: a 表示在螺线形状不变的前提下将螺线绕极点(原点)进行旋转,并且要保证一定能搜到潜 艇 b=± 的交点 3 不要变, 而 a ( a ≠0 )可变, 即可以将对数螺线 M 绕极点任意旋转, 其与圆 N 3 P 均满足要求。 0 分析对数螺线的特点可知螺线上距极点越近的点其绕螺线一周的航程越短,又由对数螺线 M 与圆 N 的位置关系可得, M 与 N 交于 0 ) 2, 0 ) 时其螺线航程最短,将 P ( 代入 P (2, 0 0 M: r s =a e ± 3 θ 3 此时可得: a = 2 。 即 M : r =2 e ± 3 θ 3 由积分 = 2 ∫ r 0 2π 2 + dθ r′ 2 可求得: s 2 ( =4 e 2π 3 3 1 ) 。 如图⑥所示,综上可知直线航程取最短时的 P 与螺线航程取得最短时的 P 重合,都 0 0 为 0 ) 。那么总的最短航程 s P (2, 0 就为最 之和, 短直线 与最短螺线 即最短总航程为: s = s 1 + s 2 =4 e 2π 3 3 2) 、光滑航程 s′ π 取得光滑航程时 P0 为 ( 2 3 , ) ,此时 r = 2 3 2 令光滑直线航程为 =s ′ s′ AP 。 ′ s′ e π 3 3 ± θ 6 3 , 0 =4 3 。 ′ s′ 令光滑螺线航程为 由积分 = ∫ ′ s′ π +2π 2 π 2 r 2 + r′ 2 可求得光滑螺线 ′ s′ 那么光滑航程 2π 3 3 1 ) 就为光滑直线航程为 s ′ 与光滑螺线航程为 s′ 之和, ′ ′ s′ 即光滑航程为: = s′ + s′ =4 3e ′ s′ 2π 3 3 五、 解的解释: 上面解题过程中已经说明。 六、模型的局限性和推广 该模型只是考虑艇速和侦察机速度以及距离确定的情况,对于这种情况,我们认为在 本质和考虑问题的思想上来说模型是不变的, 我想应该更复杂应该讲艇速和侦察机速度设为 变量以及两者距离也设为变量这样会更加实用。 该模型还忽略了一些客观存在但不易计算或 影响较小的因素, 飞机和潜艇速度不是匀速等次要因素, 在实际问题中的限制性因素远远超 过这些,但一些因素对研究问题的影响较小,因此此文的分析方法仍存在一定的局限性,有 待改进和提高。通过模型的建立,我对这样的模型有了新的认识。 注:本题的函数图像均用函数作图软件“ZT 函数作图 ver5.1.0”作成。

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